System bilangan real dan sifatnya
Yang termasuk
dalam bilangan riil adalah bilangan berikut :
a)
Bilangan asli
Bilanhan
asli adalah bilangan yang di mulai dari angka (1,2,3,…..dst)
b)
Bilangan cacah
Bilngan
cacah adalah bilangan uang dimulai dari angka (0,1,2,3,……dst)
c)
Bilangan bulat
Bilangan
blat adalah bilangan yang mencakupi seluruh posisi di garis bilangan namun
tidak memiliki angka taksiran seperti (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,….)
d)
Bilangan rasional
Bilangan
rasional adalah bilangan bulat yang mempunyai ketelitian lebih, sehingga
diteukan hasil yang lebih tepat dengan bentuk m/n dimana m dan m adalah
bilangan bulat dan n≠0. Contohnya adalah 2/4, ½, 6/8, dsb
e)
Bilangan irasional
Bilangan
irasional adalah bilangan yang punya arti atau nilai jauh dari kelumrahan dan
tidak dapat diselesaikan tanpa alat bantu. Contohnya adalah √5, √2, π, dsb
Bilangan rill
layaknya bilangan rasional juga memiliki lawan / kebalikan. Kebalikan dari
bilangan riil disebut bilangan imaginer dan yang termasuk komponen bilanga
imaginer adalah √-
Decimal
berulang dan tidak berulang
Salah satu cara membedakan antara
bilangan rasional dan irasional yang sama-sama mempunyai bentuk decimal adalah
dari segi decimalnya. Biasanya bilangan rasional akan mempunyai decimal yang
berulang seperti 0,136136136136136 untuk penyelesainnya kita missal:
Penyelesaian : misalkan x =0,136136136136136
1000x
= 136,136136136136
1000x
– x = 136,136136136136 – 0,136136136136136
999x
= 136
X
= 136/999 …….. (termauk bilangan rasional)
Sekarang misalkan angkanya kita
ganti menjadi 0,123456789. Ini sudah tergolong angka irasional. Kita selesaikan
dengan method yang sama:
Penyelesaian : misalkan x = 0,123456789
1000x
= 123,456789
1000x
– x = 123,456789 – 0,123456789
999x
= 123,333332211
X
= 123,333332211/999…… ( Irasonal)
Kepadatan
Yang dimaksudkan kepadatan dalam
kalkulus / mathematka adalah bahwa
diantara dua buah bilangan ril, terdapat ∞bilangan. Contoh diantara 1 dan 2
ada berapa banyak bilangan?
1,….,1/32,1/16,1/8,1/4,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,…. 2 (lihat, begitu banyak bilangan yang
terdapat antara angka satu dan 2 saja
Teorema
Hasil dari
pengetahauan yang kemudian di kembangkan menjadi ilmu. Pengetahuan adalah segala sesuatu yang berupa informasi yang kita
dapatkan dari pengalaman hidup, sedangkan ilmu adalah pengetahuan yang telah
kita uji berkali kali dan selalu mendaatkan kebenaran dari informasi tersebut. Dalam ilmu abstrak pelafasan dari ilmu
tersebut bukan hanya sekedar defenisi tetapi lebih diarahkan menjadi teorema /
hokum. Nantika kita akan lebih banyak bertemu dengan istilah teoroma ataupun
hokum seperti teorema phytagoras, teorema binomial newton dsb
Sifat-sifat
bilangan riil
1.
Trikotomi, jika x = y maka berlaku x>y,
x<y, atau x=y
2.
Ketransitifan, jika x<y dan y<z maka x<z
begitupun sebaliknya jika x>y dan y>z maka x>z
3.
Perkalian, jika
x<y maka x.z < y.z ……….. berlaku jika nilai z = (+)
Jika x<y maka x.z >
y.z ………. Berlaku jika nilai z = (-)
4.
Penambahan, jika x<y maka x+z < y+z
Selain
4 sifat utama diatas ada sifat lain yang berkaitan dengan sistim bilangan rill
yaitu yang bersifat khusus dimana sifat tersebut punya syarat tersendiri
seperti :
@
untuk semua x,x>0 hanya berlaku jika x≥1
@untuk
semua x,x<0 hanya berlaku jika x≤1
@untuk
semua x,x<0 maka x2>0 Untuk menyelesaikan persamaan ini maka
dilakukan dengan cara kontradiksi yaitu dengan memasukkan sembarangan angka
untuk pembuktiannya.
Soal soal
latihan
1.
Tentukan bilangan bilangan berikut apakah rasional atau
bukan!
a.
1.23234234523456
b.
12,345345345345
c.
0,54535251
d.
0,01001000100001
e.
2,334333433334
2.
Manakah diantara bilangan berikut yang selalu bernilai
benar ?
a.
2+x2>x3
b.
X-4<x2
c.
2-x/2+x<2+x/2-x
3.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari bilang berikut
a.
Jika K adalah bilangan bulat kurang dari 35-x+x2
dengan x adalah bilangan prima kurang dari 10 maka banyak himpunan bilangan
yang bernilai posiitif adalah?
b.
Dari soal pertama tentukanlah banyak bilangan yang
bernilai negative?
c.
Berapakah banyak bilangan prima yang ada?